PENDAHULUAN
Dunia pendidikan terus menerus mengglobal. Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berpikir dan berprilaku anak yang positif. Tatanan berpikir yang ingin di bentuk adalah kemampuan berpikir logis, kritis, dan sistematis, sehingga dari kemampuan berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa untuk berprilaku positif, terarah dan efektif. Dalam pembelajaran khususnya matematika, sebenarnya telah banyak upaya yang dilakukan oleh guru kelas untuk meningkatkan prestasi belajar siswa. Namun usaha itu belum menunjukan hasil yang optimal. Tentu saja guru yang menjadi perancang model pembelajaran harus mengubah bentuk pembelajaran yang lain.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berpikir setiap orang, oleh karena itu kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika, oleh karena itu seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan iklim nyaman di dalam kelas. Iklim nyaman pada matematika dapat tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan metode dan tehnik-tehnik yang bervariatif sehingga tidak menoton dan membosankan bagi anak didik.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang diajarkan pada tingkat SD. Konsep faktor, kelipatan, KPK dan FPB di jenjang SD disajikan sangat mendasar. Sebagai contoh untuk menentukan KPK dan FPB tentu materi prasyaratnya yaitu konsep bilangan meliputi penentuan faktor, faktor prima dan faktorisasi prima menjadi penting untuk dibelajarkan pada peserta didik. Pada kesempatan ini, akan dipaparkan tentang pengajaran KPK dan FPB khususnya untuk sekolah dasar.
PEMBAHASAN
Faktor Bilangan
Untuk menggolongkan suatu himpunan bilangan asli menjadi himpunan bagian adalah dengan memperoleh himpunan pembagi dari bilangan asli. Dalam penentuan himpunan pembagi suatu bilangan asli, bilangan 1 dan bilangan asli itu sendiri selalu menjadi himpunan anggota pembagi tersebut. Setiap bilangan mempunyai faktor. Faktor bilangan adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Menentukan faktor suatu bilangan berkaitan dengan operasi perkalian dan pembagian. Contoh: bilangan 6.
Ternyata bilangan 6 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6. Dengan cara lain, dapat dituliskan sebagai berikut. 6 = 1 × 6 , 6 = 2 × 3, 6 = 3 × 2, 6 = 6 × 1. Sehingga, bilangan 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari bilangan
Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima. Pohon faktor, tabel dapat digunakan untuk mementukan faktor, faktorisasi prima dari suatu bilangan. Contoh penggunaan pohon faktor dan tabel adalah sebagai berikut.
Menggunakan Pohon
Menggunakan Tabel
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) merupakan materi prasyarat (yang diperlukan)untuk membelajarkan topik-topik lain dalam matematika. Salah satunya adalah keterampilan prasyarat untuk melakukan operasi hitung penjumlahan danpengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Selain itu KPK juga diperlukan dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dijumpai oleh siswa, misalnya perkiraan waktu tempuh yang diperlukan dalam menyusul kendaraan lainnya atau untuk menentukan suatu perulangan dari suatu kegiatan ataupun suatu peristiwa.
Kelipatan Suatu Bilangan Faktor Bilangan
Untuk menggolongkan suatu himpunan bilangan asli menjadi himpunan bagian adalah dengan memperoleh himpunan pembagi dari bilangan asli. Dalam penentuan himpunan pembagi suatu bilangan asli, bilangan 1 dan bilangan asli itu sendiri selalu menjadi himpunan anggota pembagi tersebut. Setiap bilangan mempunyai faktor. Faktor bilangan adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Menentukan faktor suatu bilangan berkaitan dengan operasi perkalian dan pembagian. Contoh: bilangan 6.
Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima. Pohon faktor, tabel dapat digunakan untuk mementukan faktor, faktorisasi prima dari suatu bilangan. Contoh penggunaan pohon faktor dan tabel adalah sebagai berikut.
Menggunakan Pohon
Menggunakan Tabel
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) merupakan materi prasyarat (yang diperlukan)untuk membelajarkan topik-topik lain dalam matematika. Salah satunya adalah keterampilan prasyarat untuk melakukan operasi hitung penjumlahan danpengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Selain itu KPK juga diperlukan dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dijumpai oleh siswa, misalnya perkiraan waktu tempuh yang diperlukan dalam menyusul kendaraan lainnya atau untuk menentukan suatu perulangan dari suatu kegiatan ataupun suatu peristiwa.
Pengenalan kelipatan suatu bilangan menjadi hal penting dalam mengajarkan KPK. Perhatikan permasalahan berikut.
“Nina mempunyai 1 tusuk sate telur, Nita mempunyai 2 tusuk sate telur, Nani mempunyai 3 tusuk sate telur, dan Nana mempunyai 4 tusuk sate telur. Berapakah banyaknya telur masing-masing anak?”
Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Dalam menjawab permasalahan di atas ada kemungkinan siswa masih melakukan operasi hitung penjumlahan secara berulang, seperti berikut. Oleh karena itu, menjadi tugas guru untuk mendiskusikan dengan siswa cara yang lebih efektif.
Dari jawaban ini, siswa diajak untuk menuliskan hasil kalinya secara berurutan: 4, 8, 12, 16. Siswa diminta untuk mengamati dan melihat polanya. Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 4 dari bilangan sebelumnya, atau mengalikan 4 dengan bilangan 1, 2, 3, dan 4. Guru dapat menyampaikan kepada siswa bahwa bilangan-bilangan yang diperoleh disebut bilangan kelipatan 4. Guru dapat memberikan contoh-contoh lain untuk menentukan kelipatan suatu bilangan. Hendaknya contoh-contoh tersebut dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari siswa
Kelipatan Pesekutuan
Dalam membelajarkan konsep persekutuan dua atau tiga bilangan, guru dapat mengawali aktivitas belajar mengajar dengan memberikan permainan yang disebut dengan nama “tepuk tangan gembira”. Aturannya yaitu: 1) bilangan yang disebutkan guru dari 1 hingga 25 secara berurutan , 2) siswa dibentuk menjadi dua kelompok. Kelompok pertama bertepuk tangan ketika guru mengatakan angka 2 dan kelipatannya. Sedangkan kelompok dua bertepuk tangan ketika guru mengatakan angka 3 dan kelipatannya.
Selanjutnya, guru bertanya kepada siswa kapan mereka bertepuk secara bersama-sama? Beberapa dari mereka menjawab pertanyaan ini bahwa mereka bertepuk tangan bersama-sama pada angka 6, 12 dan 18. Mengikuti jawaban ini, guru meminta siswa untuk menuliskan jawaban mereka di papan tulis. Ilustrasi tersebut, dapat dijabarkan kedalam bentuk kelipatan persekutuan dan garis bilangan.
1. Kelipatan Persekutuan
Kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24
Kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.
Jadi siswa akan bertepuk tangan secara bersama-sama pada hitungan ke: 6, 12, 18, 24.
Dalam membelajarkan konsep persekutuan dua atau tiga bilangan, guru dapat mengawali aktivitas belajar mengajar dengan memberikan permainan yang disebut dengan nama “tepuk tangan gembira”. Aturannya yaitu: 1) bilangan yang disebutkan guru dari 1 hingga 25 secara berurutan , 2) siswa dibentuk menjadi dua kelompok. Kelompok pertama bertepuk tangan ketika guru mengatakan angka 2 dan kelipatannya. Sedangkan kelompok dua bertepuk tangan ketika guru mengatakan angka 3 dan kelipatannya.
Selanjutnya, guru bertanya kepada siswa kapan mereka bertepuk secara bersama-sama? Beberapa dari mereka menjawab pertanyaan ini bahwa mereka bertepuk tangan bersama-sama pada angka 6, 12 dan 18. Mengikuti jawaban ini, guru meminta siswa untuk menuliskan jawaban mereka di papan tulis. Ilustrasi tersebut, dapat dijabarkan kedalam bentuk kelipatan persekutuan dan garis bilangan.
1. Kelipatan Persekutuan
Kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24
Kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.
Jadi siswa akan bertepuk tangan secara bersama-sama pada hitungan ke: 6, 12, 18, 24.
2. Dengan menggunakan garis bilangan
Siswa membilang loncat dua-dua dengan menggunakan garis bilangan, dilanjutkan dengan membilang loncat tiga-tiga pada garis bilangan yang sama.
Jadi siswa akan bertepuk tangan bersama-sama pada hitungan ke: 6, 12, 18, 24. Selanjutnya guru menjelaskan kepada siswa bahwa bilangan-bilangan yang sama dari 6, 12, 18, 24 disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.
Menentukan KPK
Penentuan KPK suatu bilangan dapat digunakan beberapa macam teknik yang dapat dijabarkan sebagai berikut.
Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan
Contoh :
a. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12
Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12 = {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = { 24, 48, …}
KPK dari 8 dan 12 = 24
b. Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20
Kelipatan 15 = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
Kelipatan 20 = {20, 40, 60, 80, 100,120, …}
Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 = {60, 120, ….}
KPK dari 15 dan 20 = 60
Menggunakan Pohon Faktor
1. Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
2. Tulis faktorisasi primanya.
3. Kalikan semua faktorisasi prima (jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi)
Contoh
Menggunakan Tabel
1. Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.
2. Kalikan semua faktor prima.
Contoh
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Seperti halnya KPK, FPB merupakan materi prasyarat (yang diperlukan) untuk membelajarkan topik-topik lain dalam matematika guna memecahkan masalah misalnya menyederhanakan pecahan.
Faktor Persekutuan Bilangan
Dalam penanaman konsep persekutuan bilangan, guru dapat mengawali dengan ilustrasi yang dapat dengan mudah dipahami siswa. Misalnya sebagai berikut.
“Anggota pramuka kelas V dan VI SD Sukamaju mengadakan Persami (Perkemahan Sabtu Minggu). Anggota dari siswa kelas V sebanyak 48 orang dan dari kelas VI sebanyak 40 orang. Untuk acara baris-berbaris, anggota pramuka itu harus dibagi dalam beberapa kelompok. Tiap kelompok merupakan campuran siswa dari kelas V dan kelas VI dengan jumlah anggota kelompok yang sama. Berapa kemungkinan kelompok yang dapat disusun?”
Dengan bimbingan guru, siswa dapat menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Sehingga masalah kelompok baris berbaris di atas dapat diselesaikan. Adapun alternatif jawaban yang mungkin dari siswa antara lain adalah sebagai berikut.
Faktor dari 40 adalah: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Faktor dari 48 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Faktor dari 40 dan 48 ternyata ada yang sama, yaitu: 1, 2, 4, dan 8.
Jadi, kelompok baris-berbaris yang berasal dari kelas V kemungkinannya adalah: 48, 24, 12, atau 6. Sedangkan, kelompok baris-berbaris yang berasal dari kelas VI kemungkinannya adalah: 40, 20, 10, atau 5
Menentukan FPB
Penentuan FPB suatu bilangan dapat digunakan beberapa macam teknik yang dapat dijabarkan sebagai berikut.
1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}
FPB dari 18 dan 24 = 6
b. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72
Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
FPB dari 36 dan 48 = 12
2. Menggunakan Pohon Faktor
Untuk menggunakan pohon faktor, perlu diperhatikan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
2. Tulis faktorisasi primanya.
3. Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima (jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah).
Contoh :
Untuk menggunakan pohon faktor, perlu diperhatikan langkah berikut.
1. Buat cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
2. Beri tanda faktor prima yang sama dan dikalikan.
Contoh:
Contoh Penyelesaian Masalah yang Berkaitan dengan FPB dan KPK
Wayan mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong?
Pak Putu mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Made mendapat giliran ronda setiap 6 hari. Pak Nyoman mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama? Jika mereka ronda bersama tanggal 1 Januari 20012, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi?
Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.
Faktor bilangan adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Menentukan faktor suatu bilangan berkaitan dengan operasi perkalian dan pembagian. Penentuan faktor merupakan materi prasyarat dalam pengajaran FPB dan KPK.
KPK merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari dua/lebih bilangan. Mengingat sebagai kelipatan persekutuan, teknik dalam menentukan besaran KPK bilangan dapat digunakan 3 cara yaitu: kelipatan persekutuan, pohon faktor dan tabel.
FPB merupakan faktor persekutuan terbesar dari dua/lebih bilangan. Mengingat sebagai faktor terbessar, teknik dalam menentukan besaran FPB bilangan dapat digunakan 3 cara yaitu: faktor persekutuan, pohon faktor dan tabel.
Saran
Dalam pembelajaran matematika khususnya KPK dan FPB, guru hendaknya menekankan pemahaman siswa terhadap materi prasyaratnya. Yaitu: lebih memantapkan konsep persekutuan, faktor dan kelipatan. Sehingga, dengan pemahaman yang mantap pada diri siswa, pengembangan pengajaran akan mudah dilakukan guru. Tentu, inovasi pembelajaran guru memberi peluang penuh dalam peningkatan prestasi belajar siswa.
Daftar Pustaka
Muhsetyo, dkk. 2011. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Univertseitas Terbuka.
Pujiati dan Suharjana. 2011. Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.
Sukirman, dkk. 2011. Teori Bilangan. Jakarta: Universitas Terbuka
EmoticonEmoticon